Category: Երկրաչափություն 7

Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

MN=PR

∡N=∡R

∡M=∡P

Առաջադրանքներ․

1)54 սմ հիմքով հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է ABC անկյան կիսորդը: Օգտագործելով եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշը` ապացուցիր, որ BD հատվածը հանդիսանում է միջնագիծ և որոշիր AD հատվածի երկարությունը:

BD = DC = 27 սմ

AD – կիսորդ և միջնագիծ

2)AB և CD հատվածները հատվում են AB հատվածի O միջնակետում, <OAD=<OBC:

ա)Ապացուցեք, որ ΔCBO = ΔDAO

բ)Գտեք BC-ն և CO-ն, եթե CD=26 սմ, AD=15սմ

ա) ΔCBO = ΔDAO
բ) CO = 13 սմ

BC = 15 սմ

3)Տրված է <1 = <2, < 3 = <4:

ա)Ապացուցեք, որ ΔABC = ΔCDA:

բ)Գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=19 սմ, CD=11 սմ:

ա) ΔABC = ΔCDA
բ)

• AB = 11 սմ
• BC = 19 սմ

4)Ըստ նկարի տվյալների՝ ապացուցեք, որ OP=OT, <P = <T

4)
OP = OT
∠P = ∠T

Տեսական մասը կրկնել՝ այստեղ

122․ BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մե տարված է AM միջնագիծը։ Գտե՛ք այդ միջնագիծը, եթե ABC եռանկյան պարագիծը 32 սմ է, իսկ ABM եռանկյան պարագիծը՝ 24 սմ։
AM=8AM = 8AM=8 սմ

124․ Նկար 71–ում CD = BD, ∠1 = ∠2: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է:

AC=AB

125․ Նկար 72–ում AB = BC, ∠1 = 130°։ Գտե՛ք ∠2-ը:

∠2 = 25°

Դասարանական աշխատանք

bd=5սմ
ab=15սմ

Անկյունները հավասար էն որովհետև կողմերն էլ են հավասար։

acd=110°

Եթե անկյունները հավասար են ,կողմերն էլ են հավասար։

Լրացուցիչ աշխատանք

ab=14սմ
bc=17սմ

1 և 2 անկյունները հավասար էն և բոլոր կողմերը հավասար էն այդ պատճառով էլ եռանկյունները հավասար են։

Հաշվիր միանդամների արտադրյալը

1. 3a ⋅ 2b=6ab
2. -4x ⋅ 5x=-20x²
   7m ⋅ (-2)m ⋅ 3n=-42m²n
3. -3x ⋅ 2 ⋅ 2x ⋅ 3x³=-–36x⁵
4. 5a²b ⋅ (-2ab³)=–10a³b⁴
5. (- 4x² y³) ⋅ (3x⁵y⁴)=–12x⁷y⁷
6. (- 2m³n²p) ⋅ (- 5m² n⁴p³)=10m⁵n⁶p⁴
7. a³b² ⋅ (-8a²b⁵c)²=64a⁷b¹²c²

Պարզեցրու արտահայտությունը

1. 3a + 5a = 8a
2. 7x – 2x = 5x
3. 4m + (–6m) = –2m
4. –3y + 8y = 5y
5. 9p – (–4p) = 9p + 4p = 13p
6. 2a² + 7a² = 9a²
7. 5x³ + 3x³ = 8x³
8. 6m²n — 2mmn=4m²n
9. 4x²y + (- 9x²y)=–5x²y
10. 10a ⋅ 3b ⋅ 6a ⋅ 3b=540a²b²
11. (3x + 5) + (2x + 4)=5x + 9
12. (7a — 3) + (5a + 6)=12a + 3
13. (4m + 2n) — (3m + n)=m + n
14. (9x — 7y) + (- 2x + 5y)=7x – 2y
15. (8p + 3q) — (4p — 6q)=4p + 9q
16. (5a² + 2a — 3) + (- 3a² + 4a + 7)=2a² + 6a + 4
17. (6x² — 5x + 9) — (2x² — 3x + 4)=4x² – 2x + 5
18. (7m² n + 2mn — 5) + (- 4m²n + mn + 3)=3m²n + 3mn – 2

Տնային աշխատանք

1. (- x² y³z) ⋅ (4x³yz²) ⋅ (- 2x)=8x⁶y⁴z³
2. (- 3a²b³c) ⋅ (2a³b²c⁴) ⋅ (- abc²)=6a⁶b⁶c⁷
3. (- 3x³ + 2x² — x) — (- x³ — 4x² + 5x)=–2x³ + 6x² – 6x
4. (2a²b — 3ab + 4) + (- 5a²b + ab — 6)=–3a²b – 2ab – 2

Առաջադրանքներ․

1)Բազմանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.

ա) 2a + 3b + 5a =7a+3b

բ) 3a + 7b + 2a − b =5a+6b

գ) x + 2y + 3z + 4x + 5y + 6z =5x+7y+9z

դ) 4a + b + 3a + 5b =a7+b6

ե) 12a + 5b − 4a =a8+5b

զ) 2k + 5n + 7k + n + 2 + 2 =

2)Պարզեցրեք արտահայտությունը․

ա)2aa + a * 3a + a² =

բ)2x² * 3xy — 4x * 5x²y =

գ)y² * 2x — 3x² * 2y + 2xy * 2y — xy * (-4x) =

դ)xx * (-2x) — y * 3xy + 7x² * (-2x) — 4y² * 2x =

3․ Պարզեցրեք արտահայտությունները
ա) 2a + 5b + 7a=9a+5b
բ) 7a + b + 3a + b=10a+2b
գ) 2x + y + 3x + y + 4x=5x+2y
դ) 2x + 3y + 10x=12x+3y
ե ) a + 7b + b + 2a=3a+7b
զ) a + 2x + 5x + 2a +9x=3a+16x

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Բազմանդամը կատարյալ տեսքի՞ է․

ա)m — 3n + 2m=1m+3n

բ)a * 2b — 3a² + b=9a⁹+3^b

գ)3xy — 3yx + 1=1

դ)a² + ab + b² + ab=a⁴+b⁴

ե)x⁵ — 2x⁴ + 3x³ — 1=5x⁴

զ)ba — a²b — a³b=-1a+-1b

է)a³b + ab³ — a²b² + 2bab²=2+a³+b⁶

2)Բազմանդամը բերե՛ք կատարյալ տեսքի.

ա)13a − 7a + 5b − 2b =

բ) 3x + 7 − 2x − 3! =

գ) 2ab − 5y + 3ab + 6y + ba =

դ) 3²mn − 2³mn + nm =

ե)14x + 3y − 7x − 12y =

զ) ab² + 3aba + 2abb + 2a² b =

ա) 6a + 3b
բ) x + 4
գ) 6ab + y
դ) 10mn
ե) 7x − 9y
զ) 3ab² + 5a²b

3․ Պարզեցրեք արտահայտությունները
ա) 12a + 5b — 4a
բ) 19x — 24y + x
գ) 17x — 4y + 5x + 4y
դ) 5a — 2y + 4a + 2y
ե) 40x + 15y — 40x — 16y
զ) 9a — 3b + 5a — 7b — 8a
է) 2b — 6y + b + 5y — 3b
ը) a + 2x + a — 13x — 2a

ա) 8a + 5b
բ) 20x − 24y
գ) 22x
դ) 9a
ե) −y
զ) 6a − 10b
է) −y
ը) −11x

1. Երկու կետով ուղիղը:
Մեկ

2. Երկու ուղիղի ընդհանուր կետ:
Մեկ

3. Հատված:
Երկու կետերով փակված ուղիղ

4. Ճառագայթ:
Մեկ կետից սկսվող անսահման ուղիղ, նշվում է →AB

5. Անկյուն, գագաթ, կողմեր:
Անկյուն՝ երկու ճառագայթ, ընդհանուր կետը՝ գագաթ, ճառագայթները՝ կողմեր

6. Փռված անկյուն:
180°

7. Հավասար անկյուններ:
Միանման աստիճանով անկյուններ

8. Միջնակետ:
Ուղիղի այն կետը, որը հավասար հեռավորության վրա է վերջնակետերից

9. Կիսորդ:
Ճառագայթ, որը բաժանում է անկյունը հավասար մասերի

10. Սուր, ուղիղ, բութ անկյուններ:
Սուր՝ <90°, Ուղիղ՝ 90°, Բութ՝ >90°

11. Կից անկյուններ:
Երկու անկյուն, մեկ ընդհանուր կողմով, գումարը 180°

12. Հակադիր անկյուններ:
Երկու անկյուն, իրար դիմաց, հավասար են

13. Ուղղահայաց ուղիղներ:
Ուղիղներ, որոնք 90° անկյան տակ հատվում են

14. Չորս կետ, ոչ երեքն մի ուղիղ վրա → ուղիղների քանակ:
6

15. MP=24 սմ, MN=2·NP → NP, MN:
NP=8 սմ, MN=16 սմ

16. KLM ուղիղում KL=6, LM=10 → KM:
KM=4 կամ 16 սմ

17. 36 սմ հատվածի մեջտեղի մասերի միջնակետների հեռավորություն:
15 սմ

18. Կից անկյուններ:
ա) Մեկը մյուսից մեծ 45° → 67.5° և 112.5° (կամ մոտավոր)
բ) Տարբերությունը 35° → 72.5° և 107.5°
գ) Հարաբերություն 2:3 → 72° և 108°

19. Կից անկյունների կիսորդով կազմված անկյուն:
90°

20. Հակադիր անկյան կիսորդներ:
Միշտ մի ուղղի վրա են

Դիտարկենք երկու հատվող ուղիղներ (նկ. 45):

Նրանք կազմում են չորս չփռված անկյուններ, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ: Եթե դրանցից մեկը ուղիղ անկյուն է ( ∠1-ը նկ. 45–ում), ապա մյուս անկյունները ևս ուղիղ են: Դա կարող եք բացատրել ինքներդ օգտվելով կից և հակադիր անկյունների հատկություններից։

Երկու հատվող ուղիղներ կոչվում են ուղղահայաց (կամ փոխուղղահայաց), եթե նրանք կազմում են չորս ուղիղ անկյուններ:

AC և BD ուղիղների ուղղահայացությունը նշանակվում է այսպես. AC ⊥ BD:

Այն կարդացվում է. «AC ուղիղն ուղղահայաց է BD ուղղին»։

Նշենք, որ երկու ուղիղներ, որոնք ուղղահայաց են երրորդին, չեն հատվում (նկ. 46)։

Դասարանական առաջադրանքներ

Արդյոք ճշմարի՞տ է հետևյալ պնդումը, եթե կից անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղիղ անկյուններ են:
Այո

67. Կից անկյուններից մեկը ուղիղ է։ Սո՞ւր, ուղի՞ղ, թե՞ բութ է մյուս անկյունը:
    Եթե մեկը ուղիղ (90°) է, ապա 180°−90°=90°180° — 90° = 90°180°−90°=90°
    Ուրեմն մյուսն էլ ուղիղ է։
68. Տրված են երկու հավասար անկյուններ: Հավասար ե՞ն, արդյոք, դրանց կից անկյունները։
    Այո՛, հավասար են
69. Գտե՛ք hk և kl կից անկյունները, եթե՝
    
    ա) ∠hk-ն 40°-ով փոքր է ∠kl-ից,
    x+(x+40°)=180°⇒2x=140°⇒x=70°,մյուսը=110°.
    բ) ∠hk-ն 120°-ով մեծ է ∠kl-իg,
    x+(x−120°)=180°⇒2x=300°⇒x=150°,մյուսը=30°.
    գ) ∠hk-ն 47°18′-ով մեծ է ∠kl-ից, դ) ∠hk = 3∠kl,
    x+(x−47°18′)=180°⇒2x=227°18′⇒x=113°39′,մյուսը=66°21′.
    ե) ∠hk : ∠kl = 5 : 4:
    5x+4x=180°⇒9x=180°⇒x=20°,անկյունները՝100°և80°.
    Պատասխան՝ hk = 100°, kl = 80°.
    
70. O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում` BO⊥AO (նկ. 49): AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 20° է։ Գտեք BOC և AOC անկյունները։
    ∠BOC = 50°, ∠AOC = 140°։

Տնային աշխատանք

72․ O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում՝ OB⊥OA (նկ. 50): AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 75° է։ Գտեք BOC և AOC անկյունները։

∠BOC = 60°, ∠AOC = 150°։

73․ Նկար 51–ում BOD և COD անկյունները հավասար են: Գտե՛ք AOD անկյունը, եթե ∠COB = 148°։

∠AOD = 180°։

74․ Ըստ նկար 44–ի գտեք՝
ա) 1, 3, 4 անկյունները, եթե ∠2 = 117°,
∠1 = 63°, ∠3 = 63°, ∠4 = 117°։
բ) 1, 2, 4 անկյունները, եթե ∠3 = 43°27՛:
∠1 = 43°27′, ∠2 = 136°33′, ∠4 = 136°33′։

68. Գտեք նման միանդամների տարբերությանը հավասար միանդամը.
    ա) 7x-2x=5x
    բ) a — 3a= -2a
    գ) 10a-18a=8a
    դ) -46a²b — 26a²b=-20a⁴b
    ե) 3bc-17bc=14bc
    զ) mk-2mk=-1mk
    է) 28a²-17a²=11a²
    ը) 4bc-12bc=8bc
    թ) 17a²b²-9a²b²=8a²b²
    ժ) 24b²c³-(-17)b²c³=-7b²c³
69. Գտեք նման միանդամների գումարը.
    ա) a²bc + 2abca + (-3bca²)=0
    p) (- a * b * a²) + 7a² * ba + a³ * b=7a³b
    q) 7a² + (- 3a²) +(-4a² )=0